ביקור בית עם קלרה זיסקין: הסיפורים המפליאים של יער הקסם והבעיות המפורסמות של המתמטיקה/ מתמטיקה מזווית אחרת

 

קלרה זיסקין מעבירה הרצאות לקהל הרחב למען פופולריזציה של המתמטיקה. היא מעידה שאחרי כתיבת ספרים ומאמרים בנושאים מקצועיים, הגיעה, ביחד עם אלי שור, לכתיבת הספר "הסיפורים המפליאים של יער הקסם ו… הבעיות המפורסמות של המתמטיקה", כי "רצינו להעביר לכמה שיותר אנשים את מה שאנו יודעים, להתחלק איתם בידע, להשפיע, להראות שניתן להסתכל על המתמטיקה מזווית אחרת אולי לא מוכרת". על הספר, מתמטיקה ואוסף כלים מתמטיים בהמשך "ביקור הבית" שלפניכם. 

 

 

 

 

 

 

 

קלרה זיסקין, מוסמכת להוראת המתמטיקה ולתכנות מחשבים מאוניברסיטת לטביה, מלמדת מתמטיקה במסגרות שונות. היא נולדה למשפחת מורים. אביה, מאיר גורביץ' היה מורה למתמטיקה, ואמה, מינה צרן-גורביץ' הייתה מורה לשפה הגרמנית. שניהם היו נערצים על ידי תלמידיהם.

שני הוריה היו ציונים וידעו היטב עברית. לפני מלחמת העולם השנייה לטביה הייתה מדינה עצמאית, היו בה בתי ספר עם לימוד עברית, ובבית הנבחרים של לטביה היו נציגים של כל המפלגות היהודיות והציוניות. "ההורים שלי ניצלו מציפורני הנאצים כאשר תחת ההפגזות ברחו על האופניים לרוסיה השכנה, שם נשלחו לעבוד במדינה טטאריסטן. אחרי המלחמה התגלה להם גודל האסון: כל הקרובים משני הצדדים נהרגו. אני ואחי גדלנו בלי סבים וסבתות, בלי דודים ודודות. אבי נפטר בהיותי בת 13, אך הספיק ללמד אותי קצת עברית והיסטוריה של העם היהודי. כמו כן, הוא כיוון אותי איזה ספרים כדאי לקרוא.

תרומתו של אבי לקהילה היהודית הייתה גדולה מאוד. הוא חיבר לוחות שנה יהודיים, כך שכל היהודים בלטביה ידעו את מועדי החגים. ידעתי שמקומי בארץ ישראל. רק אחרי מלחמת ששת הימים החלו הגבולות להיפתח. היינו מסורבי העלייה. אחרי מאבק של כמעט שלוש שנים, בשנת 1973, קיבלנו התר לעלות ארצה: אימי, אני, בעלי ושני ילדים. מכאן התחילו החיים החדשים שלי".

במשך שנים רבות הולך ומחמיר מצב של חינוך מתמטי בארץ. מחברי הספר שהם בעלי ניסיון רב בהוראת המתמטיקה ובכתיבה מקצועית משוכנעים שכדי שלומדי המתמטיקה יאהבו אותה יש ללמדה באופן שירתק ויקסים אותם. "מפגש עם המתמטיקה מפתח את החשיבה, מלמד להבליט את העיקר ולסנן את הטפל. מיומנויות אלה נחוצות לכל אחד מאיתנו הן בחיי יום-יום והן בתחומי עיסוק שונים כדי לנתח  מצבים  בהם אנו נמצאים ולהגיע למסקנות נכונות", אומרים מחברי הספר. מחברי הספר מאמינים שקוראים שנרתעו מהמתמטיקה קודם ישנו את דעתם אחרי שיקראו בספר והקסם שבמתמטיקה ידבק בהם .

 

שם: זיסקין קלרה

גיל: 66

סטטוס: נשואה +3

מגורים: יקנעם

 

יריית פתיחה: הוציאה לאחרונה יחד עם אלי שור את הספר הסיפורים המפליאים של יער הקסם ו… הבעיות המפורסמות של המתמטיקה, בהוצאת טעמי מדע, 2012.

מאין את שואבת את ההשראה לכתיבתך? "את ההשראה לכתיבת הספר שאבתי מתוך ניסיון שלי בהוראה: ידעתי מה חסר בתחום זה, שאין בנמצא כתובים שמאפשרים לקורא להכיר את המתמטיקה מזווית אחרת. עוד לפני ספר זה כתבתי  ספרים, מאמרים, העברתי הרצאות ויצרתי חומרים מקצועיים שונים, העיקר לימודיים ודידקטיים ותמיד "תיבלתי" אותם בקטעים מתוך היסטוריה של המתמטיקה, מידע על מתמטיקאים שעבדו בתחום, פרדוקסים, בדיחות, חידות ושעשועים הקשורים לנושא."

כמה זמן ארכה כתיבת ספרך?  "בערך שנתיים חצי".

אילו ספרים קראת לאחרונה? "קראתי את הספרים "הייתי כאן" ו"להט אדום" מאת רנה ליטוין, "אהבה אסורה בפטרבורג" מאת מישקה בן דוד, "חיים של נייר" מאת נורית יובל", בעיית שפינוזה" מאת ארווין יאלוםו "אנשים טובים" (בקריאה) מאת ניר ברעם".

מי הסופר שכתביו הרשימו אותך יותר מכולם, והאם הייתה לו השפעה כלשהי על כתיבתך? "הסופר הוא אפוסטולוס דוקסיאדיס שכתב רומן מבריק בשם "הדוד פטרוס והשערת גולדבך" (1992). זהו סיפור על דוד מוזר, המסופר על ידי בן אחיו, שהקדיש את כל חייו לפתרון אחת הבעיות הבלתי פתורות הידועה בשם 'השערת גולדבך'. הגדרתה של השערת גולדבך נשמעת מאוד פשוטה:  כל מספר זוגי הגדול מ- 4 ניתן לתאר כסכום של שני מספרים ראשוניים. (מספר ראשוני, למי שלא יודע, הוא מספר טבעי המתחלק רק בעצמו וב-1: … ,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.  לפי השערת גולדבך: 11+5=16 או 13+3=16).

בניסיונות לפתור את הבעיה גיבור הרומן הקריב את הצביון של החיים הנורמאליים: משפחה, מעמד בחברה ותהילה, ונשאר בסופו של דבר 'על הקרשים', מנוצח על ידי אותה הבעיה. בדידות, שיגען ואובדן עדיפות, כל אלה לא יהיו מובנים, לפי דעתי, לאנשים שאין להם רקע כלשהו במתמטיקה או במחקר מדעי. הם או יפסיקו את קריאתם באמצע או ימשיכו עד הסוף, תוך סקרנות, עם סלידה מסוימת. אני התפעלתי כיצד הצליח המחבר להפוך סיפור חייו של הגיבור לרומן רעיוני. קראתי ללא הפסקה".

אילו ספרים קראת בילדותך? "ספרים של הנס אנדרסן, אחים גרים, סמואל מרשק, אגניה ברטו, אלכסנדר פושקין, מיכאיל לרמונטוב, יוליאן טובים, אנטון צ'כוב, מרק טוון, ז'יול ורן, מיין ריד, או הנרי, אלכסנדר דיומא, שלום עליכם, לב טולסטוי, מקסים גורקיי, רוברט סטיבנסון, סטניסלב לם, ג'רום ק. ג'רום, תיאדור דרייזר, ויקטור הוגו, אחיות ברונטה, ליון פויכטוונגר, ארצ'יבלד קרונין, אלזה טריולה ועוד".

אילו שלושה ספרים תיקחי איתך לאי בודד? "את הספר "היסטוריה של המתמטיקה מימי הקדם עד המאה ה-19" בשלושה כרכים".

האם הוצאת בעבר ספרים נוספים או שזה הוא ספרך הראשון?  "כתבתי בעבר ספרים לימודיים ודידקטיים, זהו ספר הספרותי הראשון".

ספרי קצת על הספר שכתבתם: "המטרה העיקרית של הספר היא להוביל את הקורא למפגש מרתק ומועיל עם המתמטיקה ולגרום לו להתעניין בה יותר, ועל כך עונה המבנה המיוחד של הספר – ההקבלה. לכל סיפור אגדה שבחלק הראשון של הספר מתאימה סקירה היסטורית בחלקו השני. גם בסיפור וגם בסקירה "מכוכבת" אותה הבעיה המתמטית המפורסמת. בסקירה היא מוצגת במלואה: מתי היא נוצרה, מיהם המתמטיקאים שחקרו או הוכיחו אותה, לעומת זאת בסיפור אגדה תושבי יער הקסם עוסקים במקרה פרטי של אותה הבעיה.

הסקירות ההיסטוריות שבספר, מטרתן להפריך את התפיסה המקובלת בציבור שהמתמטיקה התאבנה משום שהמשפטים שלה התגלו והוכחו לפני אלפי שנים. קריאתו של הספר תקרב את הקוראים להבנה שהמתמטיקה עתיקת-היומין היא צעירה נצחית ושהיא נמצאת בתהליך בלתי פוסק של פיתוח והתחדשות".

האם את כותבת בימים אלה ספר נוסף או מתכוונת להוציא ספר נוסף בתקופה הקרובה?  "התשובה היא, כן. אנחנו צוות של שני אנשים: אלי שור ואנוכי. יש לנו כתב עט מוכן של ספר שני, ואנו ממשיכים לעבוד על ספר נוסף".

מה הטיפ שלך לסופר מתחיל? "אם החלטת לכתוב, לא לעצור, להוציא לאור. נכון שכיון קשה להוציא לאור. כותבים בעיתונים שכל  80 דקות מודפס בישראל ספר חדש. יש להניח, כמעט בוודאות, שתצטרך להשקיע סכומים גדולים של כסף. אבל, אם 'בוער' בך רצון עז להתחלק עם האנשים בידע שלך, לחדש להם משהו, להשפיע, לחנך – לך על זה. התייחס ליצירה שלך כמו לבייבי, הילד שלך. אם רוצים לקדם את הילד, יש להשקיע בו מאמצים רבים (וגם כספים), כך גם בספר שלך".

משפט מסכם: "המתמטיקה – מדע עתיק-יומין וצעיר לנצח, אינה מתנשאת ואינה גאוותנית, פותחת שעריה לכל אחד – גם לאלה שמכבדים אותה בלי לאהוב, ובעיקר לאלה שאינם מתייראים ממנה.  התקרבו למתמטיקה ללא חשש, התיידדו איתה והיא תעניק לכם מתנות שלא תסולאנה בפז".

* * * * *

אוספת כלים ומשחקים מתמטיים

לקלרה זיסקין יש אוסף של כלים ומשחקים מתמטיים, מתוצרת בית. הם משמשים אותה בתור אביזרי עזר בהרצאות:

מחוגה תלת-רגלית, ריבוע הנגרים, "טומהוק" ומכשיר לשרטוט הקוודראטריסה

שלוש בעיות בניה גיאומטריות העסיקו את המתמטיקאים קרוב לארבעת אלפים שנה. המתמטיקאים המצרים עסקו בהן עוד בימי העולם העתיק והן עברו בירושה למתמטיקאים היוונים, כשהן בלתי פתורות. הבעיות  הן: תרבוע עיגול, הכפלת קובייה וחלוקת זווית כלשהי לשלושה חלקים שווים. בבעיה הראשונה מחפשים דרך לבניית ריבוע שווה שטח לעיגול נתון. בבעיה השנייה מחפשים דרך לבניית קובייה אשר נפחה גדול פי שניים מנפח של קובייה נתונה. בבעיה השלישית מחפשים דרך לחלק זווית כלשהי לשלוש זוויות שוות. בשלוש הבעיות יש לבצע את הבניות באמצעות סרגל (ללא שנתות) ומחוגה בלבד. רק מאוחר יותר, במאה ה-19, הוכח כי לא ניתן לבצע את הבניות הנדרשות באמצעים אלה. במשך שנים הומצאו מכשירים מכאניים שונים ומשונים, הידועים בשם "טריסקטורים", בעזרתם ניתן לחלק זווית כלשהי לשלושה חלקים שווים, ביניהם: מחוגה תלת-רגלית  שהומצאה על ידי H.Hermes  ב-1883; ריבוע הנגרים – תואר לראשונה ב-1883 על ידי Nicolson; "טומהוק"  – תואר לראשונה ב-1835 על ידי Bergery; מכשיר לשרטוט הקוודראטריסה, הומצא על ידי  היפיוס, המאה החמישית לפנה"ס.

ריבועי קסם וריבועים גרקו-לטיניים

ריבוע קסם 4 על 4 שבו ממקמים מספרים עוקבים מ-1 עד 16, כך שסכום המספרים בכל שורה, בכל עמודה ועל שני אלכסונים זהה ושווה ל-34. ריבוע קסם זה נחשב לראשון שהופיע באירופה. הריבוע חובר על ידי הצייר הגרמני אלברכט דירר (1451-1528) והוא גם הנציח אותו בתחריט בשם 'מלנכוליה'. שני המספרים האמצעיים שבשורה התחתונה הם שנת היצירה של התחריט: 1514.

ריבוע 3 על 3 שבו ממוקמים שלוש צורות גיאומטריות: משולש, עיגול וריבוע בשלושה צבעים: אדום, צהוב וכחול. ריבוע זה ידוע בשם 'ריבוע גרקו-לטיני'. הוא בנוי לפי הכלל: בכל שורה ובכל עמודה נמצאות שלוש הצורות בשלושה צבעים שונים.

בתמונה מטה מתוארת אחת מהתוצאות של המשחק הבא: יש לבנות ריבוע גרקו-לטיני כאשר נתונה טבלה ריבועית 4 על 4 ו-16 פקקים מבקבוקי שתייה בארבעה צבעים שונים ועליהם מספרים 1,2,3,4. כלומר, יש למקם את הפקקים כך שבכל שורה ובכל עמודה יימצאו 4 פקקים ב-4 צבעים שונים עם המספרים 1,2,3,4.

גרסה שונה של אותו המשחק, כאשר במקום הפקקים בצבעים שונים עם המספרים מ-1 עד 4 , יש למקם 4 צורות גיאומטריות שונות (הגזורות מקרטון) בארבעה צבעים שונים.

 

"הסיפורים המפליאים של יער הקסם ו… הבעיות המפורסמות של המתמטיקה"

מאת קלרה זיסקין ואלי שור

 

הספר מיועד לקהל רחב של קוראים ומומלץ לקריאה משפחתית שהייתה נפוצה בעבר, אך נשכחת והולכת בימינו. המבנה הייחודי של הספר מאפשר קריאה בדרכים מגוונות: אפשר לקרוא את סיפורי האגדה שבחלק הראשון של הספר ולאחר מכן את הסקירות שבחלק השני או לקרוא לסירוגין סיפור-אגדה ומיד אחריו את הסקירה המקבילה לו. לכל אפשרות קריאה יש את היתרונות שלה וכל קורא יכול לבחור מה מתאים לו.

בספר שני חלקים – החלק הראשון מכיל עשרה סיפורי אגדה שמתארים אירועים שונים שחווים בעלי החיים בעלי התכונות האנושיות שחיים ביער הקסם. בתוך כל סיפור-אגדה מסתתרת בעיה מתמטית או לוגית מפורסמת וכל סיפור מסתיים בחידה.

בחלקו השני של הספר עשר סקירות מההיסטוריה של המתמטיקה. בכל סקירה מתוארת בעיה מתמטית מפורסמת אחת – מקורה, המתמטיקאים שעסקו בפתרונה ותרומתה להתפתחות המתמטיקה. העיסוק בפתרון בעיות מסוימות כמו "המשפט הגדול של פרמה" נמשך מאות שנים והשתתפו בו מתמטיקאים מדורות רבים. בין הסקירות נמצאות: בעיית יוספוס פלביוס, בעיית הנסיכה דידו, בעיית המטבע המזויף, בעיית שקילה של בשה, משפט גדל, פרדוקס ספר הכפר של ראסל ואחרות.

הסקירות ההיסטוריות שבספר מטרתן להפריך את התפיסה המקובלת בציבור שהמתמטיקה התאבנה משום שהמשפטים שלה התגלו והוכחו לפני אלפי שנים. קריאתו של הספר תקרב את הקוראים להבנה שהמתמטיקה עתיקת-היומין היא צעירה נצחית ושהיא נמצאת בתהליך בלתי פוסק של פיתוח והתחדשות.

הסקירות מובאות בשפה ידידותית במיוחד לקוראים שאינם בעלי השכלה מתמטית בלי שהמחברים התפשרו על הדיוק המתמטי שבתיאור הבעיות. המעניין הוא שכל סקירה מקבילה לאחד הסיפורים של יער הקסם והחידה המופיעה בסופו של כל סיפור-אגדה היא מקרה פרטי של הבעיה המתמטית המפורסמת שנדונה בסקירה. ההקבלה בין הסיפורים לסקירות משתקפת במבנה הספר ובתוכן העניינים. יחד עם זאת הקורא יוכל להבחין בסגנונות כתיבה שונים לגמרי בשני חלקי הספר.

קריאתו של החלק השני של הספר דורשת היכרות עם יסודות השפה המתמטית שנרכשת בחטיבת הביניים. עם זאת סיפורי האגדה שבחלק הראשון של הספר מתאימים גם לילדים בגיל בית הספר היסודי. ברם, לחלק מהחידות לא נדרש ידע מתמטי כלל שכן ניתן לגלות את הפתרון בעזרת הגיון פשוט.

לספר שתי מטרות עיקריות:

לשנות לטובה את יחסם למתמטיקה של אלה, שעדיין אינם חיים עמה בשלום, על ידי העברת המסר, כי למתמטיקה פנים לא מאיימות, אלא ידידותיות ומלבבות, ויחד עם זה אמיתיות;

לתת הזדמנות לחובבי המתמטיקה ולכלל הקהל הרחב של הקוראים להתבונן במתמטיקה מזווית אחרת, מפתיעה.

 

סיפור ראשון

 

שבעת העכברים

יצורים נחמדים הם העכברים של יער הקסם: עורם מכוסה בפרווה שחורה ומבריקה, עיניהם (הפוזלות במקצת) נוצצות, וזנבותיהם הארוכים מסתלסלים לסליל. הזנבות האלה מאפשרים לעכברים לטפס על עצים במקרה הצורך, אך ברוב הזמן מעדיפים עכברי יער הקסם לגור מתחת לפני הקרקע, כל משפחה בנפרד. בתיהם נוחים ומרווחים ומדרגות חצובות באדמה מוליכות אליהם. מכל בית מבצבצת ארובה של תנור מעל פני הקרקע. מתחת האדמה קר מאוד בכל עונות השנה והתנורים שבבתיהם מוסקים תמיד.

משפחה אחת ממשפחות העכברים גרה בבית תת-קרקעי שכזה, ליד אחת הגבעות הדרומיות של יער הקסם. על מצחו של כל אחד מבני המשפחה מתנוסס כתם לידה בצורת כוכב, ועל כן כינו אותם בשם 'משפחת כוכבי'.

בית משפחת כוכבי מכיל חדר מגורים גדול ובו בנוי אח לחימום. בבית ישנו גם חדר הורים, חדר לשבעת הבנים ומחסן, שבו נשמרים מאגרי מזון ועצים להסקה.

ערב אחד, בסוף הקיץ, התכנסה כל המשפחה ליד האח, ואבא כוכבי אמר:

"ילדים יקרים, חבית גרעיני הדגנים שלנו התרוקנה. כידוע לכם, הגרעינים הם עיקר המטעמים שלנו בערבי החורף הארוכים. למזלנו, ממש בימים אלה מבשילות שיבולי הדגנים בקרחות היער הרבות, עליכם לצאת ולאסוף את הגרעינים.

אימא כוכבי תפרה לכל אחד מכם שקית לתלות אותה על הצוואר. בשקית המלאה יש מקום בדיוק לשבעה גרעינים. החל מיום ראשון בבוקר תצאו כולכם ליער, ובכל יום יביא כל בן כוכבי שקית מלאה בגרעיני דגנים וירוקן אותה אל החבית, שבמחסן. כך, בסוף השבוע, שוב יהיו לנו… אֶה… תהיה לנו חבית מלאה עד שְׂפתהּ בגרעינים."

בודאי הבחנתם בכך, שאבא כוכבי היסס מעט לקראת סוף נאומו. הוא רצה לומר כמה גרעינים יצטברו בחבית המלאה בסוף השבוע, אולם לא היה ביכולתו לחשֵב את המספר. הסיבה לכך הייתה פשוטה: עכברי יער הקסם מסוגלים לספור רק עד 10, וחבית מלאה מכילה הרבה יותר מעשרה גרעינים. עם זאת, אבא כוכבי היה כבר בעל ניסיון וידע, שאם כל בן יאסוף שבעה גרעינים ליום, במשך שבעה ימים, תתמלא החבית עד שפתה. בזכות יֶדע זה הצליח האב להיחלץ בכבוד מהמצב המביך.

לפתע התערבה אימא כוכבי בשיחה:

"אבא כוכבי, שכחת דבר חשוב אחד! אסור לאסוף גרעינים ביום השביעי בשבוע! זהו יום החופשה לפי חוקי היער שלנו, והוא מוקדש לטיולים ולהנאה."

"חי נפשי, את צודקת!" אמר אבא כוכבי. "איך יכולתי לשכוח דבר חשוב שכזה?" והוא הִרהר כיצד לתקן את המצב. חשב, חשב ואמר: "הקשיבו, ילדים! במשך שישה ימים יביא כל אחד מכם, בנוסף לשבעת הגרעינים שבשקית, עוד גרעין אחד בין שיניו. את שמונת הגרעינים תשימו בתוך החבית, וביום השביעי ננוח. ביום הראשון שאחריו אלך אני ליער עם שקית, אמלא אותה, ואשפוך את הגרעינים לחבית. כך תהיה לנו שוב חבית מלאה."

תוכניתו של אבא כוכבי התקבלה פה אחד. הלילה ירד ובני משפחת כוכבי פרשו מחדר המגורים אל חדרי השינה. שם, במצב רוח מרומם, נכנסו למיטותיהם, והתכרבלו בשמיכות הפּוּך.

באותו לילה חלמו כולם חלומות מתוקים על גרעינים.

 

חידת רזיער

 

האם צדק

אבא כוכבי

בהחלטתו

להביא שקית מלאה

נוספת של גרעינים

כדי למלא את החבית,

וכיצד הגיע להחלטה זו

כאשר

הוא יודע לספור

רק עד 10?

 

הסיפורים המפליאים של יער הקסם ו… הבעיות המפורסמות של המתמטיקה מאת קלרה זיסקין ואלי שור, איורים ססגוניים: סימה לוין, הוצאת טעמי מדע, שנת 2012, 116 עמודים, מיועד לילדים ולמבוגרים החל מגיל 10,

ליצירת קשר עם קלרה זיסקין:  054-6280824 או בדואר אלקטרוני: [email protected]